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Formule e metriche

CAGR, volatilità, Sharpe, Sortino, Calmar, beta, CAPM e Fama-French.

Le formule dietro le metriche del backtester. Sono riportate per trasparenza: sapere come è costruito un numero è il modo migliore per capire quando smette di essere affidabile.

Rendimento

CAGR (Compound Annual Growth Rate)

(VfVi) ⁣1n−1\left(\frac{V_f}{V_i}\right)^{\!\frac{1}{n}} - 1

Il rendimento medio annuo composto fra valore iniziale e finale su nn anni. Non descrive il percorso: due portafogli con lo stesso CAGR possono aver avuto storie completamente diverse.

Rischio

Volatilità

σmonthly×12×100\sigma_{monthly} \times \sqrt{12} \times 100

La deviazione standard dei rendimenti mensili, annualizzata. Il fattore √12 assume che i rendimenti siano indipendenti fra un mese e l'altro, un'assunzione comoda che i mercati reali violano proprio nelle crisi, quando i cali si susseguono.

Drawdown

Vcurrent−VpeakVpeak\frac{V_{current} - V_{peak}}{V_{peak}}

La discesa dal massimo precedente. Calcolata su chiusure mensili, quindi più contenuta del drawdown giornaliero reale.

Rendimento corretto per il rischio

Sharpe Ratio

CAGR−Rfσ\frac{CAGR - R_f}{\sigma}

Rendimento in eccesso rispetto al tasso privo di rischio, per unità di volatilità.

Sortino Ratio

CAGR−Rfσd\frac{CAGR - R_f}{\sigma_d}

Come lo Sharpe, ma al denominatore c'è solo la volatilità al ribasso. Risponde a un'obiezione ragionevole allo Sharpe: la volatilità verso l'alto non è un rischio, è esattamente ciò che stai cercando.

Calmar Ratio

CAGR∣MaxDrawdown∣\frac{CAGR}{|MaxDrawdown|}

Rendimento per unità di perdita massima. È la metrica più vicina al modo in cui le persone vivono davvero il rischio.

Esposizione al mercato

Portfolio Beta

βp=Cov(Rp,Rm)Var(Rm)\beta_p = \frac{\text{Cov}(R_p,R_m)}{\text{Var}(R_m)}

Quanto il portafoglio si muove rispetto al mercato di riferimento.

CAPM Expected Return

E[Rp]=Rf+βp(E[Rm]−Rf)E[R_p] = R_f + \beta_p(E[R_m]-R_f)

Il rendimento atteso secondo il Capital Asset Pricing Model, dato il beta.

Correlazione

ρ=Cov(X,Y)σX⋅σY\rho = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}

Quanto due strumenti si muovono insieme, fra −1 e +1. È il motore della diversificazione: è la correlazione bassa, non il numero di strumenti, a ridurre la volatilità complessiva.

Modello a cinque fattori

Fama-French

Ri−Rf=α+β1(Rm−Rf)+β2SMB+β3HML+β4RMW+β5CMAR_i - R_f = \alpha + \beta_1(R_m - R_f) + \beta_2 SMB + \beta_3 HML + \beta_4 RMW + \beta_5 CMA

Scompone il rendimento di un portafoglio nelle esposizioni a mercato, dimensione (SMB), value (HML), redditività (RMW) e politica di investimento (CMA). Backtes.to aggiunge il momentum (WML) a questa regressione multivariata, stimando tutti e sei i beta dai rendimenti mensili in eccesso:

Ri−Rf=α+β1(Rm−Rf)+β2SMB+β3HML+β4RMW+β5CMA+β6WMLR_i - R_f = \alpha + \beta_1(R_m - R_f) + \beta_2 SMB + \beta_3 HML + \beta_4 RMW + \beta_5 CMA + \beta_6 WML

Avvertenza. I premi storici dei fattori sono stimati su periodi lunghi e non sono garantiti in futuro: alcuni fattori hanno attraversato decenni interi di sottoperformance dopo la loro pubblicazione. L'esposizione fattoriale è una descrizione di com'è fatto il portafoglio, non una previsione del suo rendimento. Il grafico rolling ripete la stessa regressione su ogni finestra mobile di 60 mesi: mostra come è cambiata l'esposizione stimata, non una previsione.

Metodi grafici

  • Monte Carlo: migliaia di simulazioni per stimare la distribuzione degli esiti possibili.
  • Rolling windows: il rendimento su finestre mobili, per vedere quanto il risultato dipende dalla data di ingresso.
  • Simulazioni FIRE: proiezioni di accumulo e decumulo; il metodo è descritto in Come funziona la simulazione FIRE.

Convenzioni

  • Il tasso privo di rischio RfR_f usato nei rapporti è l'Euribor.
  • Tutte le metriche sono calcolate su rendimenti mensili di fine mese.
  • Con un PAC attivo, volatilità e rapporti risk-adjusted usano rendimenti che neutralizzano i versamenti: vedi Simulare un PAC.